SEO Text Tool: Kostenlos einzigartige Texte schreiben mit dem Artikel Schreiber

Konfiguriere, welchen SEO Text das Tool automatisiert für dich erstellen soll

Schritt 1: Hauptstichwort eingeben
(Thema des Artikels)!

Schritt 2: Nebenstichwort eingeben
(Nuance des Text Inhaltes)!

Schritt 3: Klick auf "Text erstellen"!


Dein neuer Artikel Überschrift:    

Problem des Handlungsreisenden – Wikipedia

Lesezeit:    

11 Minuten, 51 Sekunden

Sprache:    

Dein Artikel ist in deutscher Sprache geschrieben

Hauptstichwort (Thema des Artikels):    

Traveling Sales Man

Nebenstichwort (Nuance des Text Inhaltes):    

Hauptthemen des neuen Artikels:    

Tour

Zusammenfassung:    

Obwohl (1) und (2) zusammen mit der Beschrankung auf 0/1-Vektoren das Problem vollstandig modellieren, konnen solche zusatzlichen Ungleichungen innerhalb eines Branch-and-Cut-Verfahrens zur Formulierung hinzugefugt werden, um bestimmte LP-Losungen mit nicht-ganzzahligen Koordinaten auszuschliessen (siehe Abschnitt Exakte Losungsverfahren). Die zugehorige Schnittebene, die durch die rot gestrichelten Linien aufgespannt wird, schneidet also alle Ecken ab, die unmoglichen Touren mit hochstens einer Kante entsprechen, namlich den Nullvektor (0,0,0) und die Einheitsvektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1). [8 ] Die bis dahin grosste optimal geloste Instanz bestand aus vierundzwanzig Komma neun sieben acht schwedischen Stadten, gelost im Jahre zweitausendvier Mit Hilfe spezieller Dekompositionstechniken und dem Einsatz mehrerer paralleler Computer haben William Cook unter anderem Touren fur ein TSP auf uber 526 Millionen Sternen gefunden, deren Lange nachweislich hochstens 0,798 % vom Optimum abweicht.

Hilf & verlinke uns:    

Weiterführende Links:    


Artikel vorlesen lassen:

Artikel Text:

Problem des Handlungsreisenden – Wikipedia
Bildquelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Figure_illustrating_the_vehicle_routing_problem.png/240px-Figure_illustrating_the_vehicle_routing_problem.png    

Die so definierten Werte cij{\displaystyle c_{ij }} erfullen immer die Dreiecksungleichung, und jede Tour im Distanzgraphen entspricht einer Tour mit moglichen Knotenwiederholungen im ursprunglichen Graphen. Sollte es nicht zulassig sein, Orte mehrfach zu besuchen, lasst sich ein beliebiges TSP ebenfalls auf ein metrisches TSP reduzieren, indem man jede Kantenlange um dieselbe nichtnegative Konstante vergrossert: es kann ja immer eine Konstante q>=0\displaystyle q\geq 0 gefunden werden, die gross genug ist um (cij+q)<=(cik+q)+(ckj+q)\displaystyle (c_ij+q)\leq (c_ik+q)+(c_kj+q) fur alle Knotentripel zu erfullen. Bei Heuristiken, die eine maximale Abweichung vom Optimum gewahrleisten, vergrossert dieses Vorgehen naturlich den Abweichungsfaktor der ursprunglichen Aufgabe. Ein Ansatz zur Losung des Problems ist die Formulierung als ganzzahliges lineares Programm, in dem die Entscheidungen durch Variablen und die Bedingungen durch lineare Ungleichungen beschrieben werden. Hierfur gibt es mehrere mogliche Varianten. Beispielhaft soll hier eine Modellierung fur das symmetrische TSP mit Knotenmenge V\displaystyle V vorgestellt werden. Fur jede Kantei,j{\displaystyle {i , j}} wird eine binare Variable xi,j[?]0,1{\displaystyle x_{{i,j}}\in {0,1}} eingefuhrt, die fur eine gegebene Tour angibt, ob die Kante i,j{\displaystyle {i, j}} in dieser Tour enthalten ist (xi,j=1{\displaystyle x_{{i,j}}=1}) oder nicht (xi,j=0{\displaystyle x_{{i,j}}=0}). Jede Tour lasst sich auf diese Art durch Angabe der zugehorigen Variablenwerte angeben, aber nicht jede 0-1-Belegung der Variablenwerte definiert eine Tour. Die Bedingungen dafur, dass eine Variablenbelegung eine Tour definiert, lassen sich durch lineare Ungleichungen ausdrucken, die im Folgenden vorgestellt werden sollen. Gradbedingung: In jeden Knoten i muss genau eine Kante der Tour hinein- bzw. hinausgehen. Jeder Knoten muss uber genau zwei Tourkanten mit den restlichen Knoten verbunden sein, namlich durch eine hinein- und eine hinausfuhrende Kante: fur alle i[?]V\displaystyle i\in V. In der Summe ist jeder Summandxi,j{\displaystyle x_{{i, j}}} entweder eins (in der Tour enthalten) oder null (nicht enthalten). Die Summe zahlt daher genau die Zahl der Kanten der Tour, die den Knoten i\displaystyle i als Endknoten haben. Sie muss den Wert zwei annehmen, da jeweils eine Kante hinein- und hinausfuhren muss. Im nebenstehenden Bild ist ein Knoten i\displaystyle i mit ein- und ausgehenden Kanten dargestellt, wobei die Tourkanten fett gekennzeichnet sind. An den Kanten stehen die Werte xi,j{\displaystyle x_{{i , j\}}}, die zu den oben genannten Summen beitragen. Kurzzyklen: Diese Variablenbelegung erfullt alle Gradbedingungen, definiert aber keine Tour. Die obigen Gradbedingungen werden nicht nur von Touren erfullt, sondern auch von Variablenbelegungen, die mehrere getrennte Kreise (sogenannte Kurzzyklen) beschreiben, wobei jeder Knoten in genau einem Kreis enthalten ist (siehe Bild). Um so etwas auszuschliessen, mussen noch Kurzzyklusungleichungen (auch Subtour-Eliminationsbedingungen genannt) erfullt werden. Diese von Dantzig, Fulkerson und Johnson eintausendneunhundertvierundfünfzig als loop conditions eingefuhrten Nebenbedingungen besagen, dass jede Knotenmenge S[?]V\displaystyle S\subset V, die weder leer ist noch alle Knoten enthalt, durch mindestens zwei Kanten der Tour mit den restlichen Knoten verbunden sein muss: fur alle Knotenmengen S\displaystyle S mit 1<=S<=V-1\displaystyle 1\leq S\leq V-1. Die Summe zahlt alle Kanten der Tour zwischen einem Knoten i[?]S\displaystyle i\in S und einem anderen Knoten j[?]S\displaystyle j\notin S. Zur Vermeidung redundanter Ungleichungen kann man sich auch auf Knotenmengen S\displaystyle S mit mindestens zwei und hochstens V-2\displaystyle V-2 Knoten beschranken. Im nebenstehenden Bild sind wieder die Kanten i,j{\displaystyle {i, j}} mit xi,j=1{\displaystyle x_{{i,j}}=1} fett gezeichnet, wahrend die ubrigen Kanten den Wert xi,j=0{\displaystyle x_{{i,j}}=0} haben. Das Hinzufugen der Bedingung (2) fur die Knotenmenge S\displaystyle S, die aus den drei linken Knoten besteht, wurde dafur sorgen, dass S durch mindestens zwei Tourkanten mit den drei rechten Knoten verbunden sein muss, und damit die beiden gezeigten Kurzzyklen ausschliessen. Die Anzahl der Subtour-Eliminationsbedingungen nach Dantzig, Fulkerson und Johnson betragt 2n-2(n-1)\displaystyle 2^n-2(n-1). Eine eintausendneunhundertsechzig von Miller, Tucker und Zemlin veroffentlichte alternative Darstellung der Nebenbedingungen zur Vermeidung von Subtouren kommt durch Einfuhrung von n\displaystyle n neuen Variablen, die die Reihenfolge der besuchten Orte angeben, mit nur n2-n+1\displaystyle n^2-n+1 Nebenbedingungen aus. Allerdings bleibt das TSP wegen der Binaritat der xi,j{\displaystyle x_{{i, j\}}} auch mit der Formulierung nach Miller, Tucker und Zemlin weiterhin NP-schwer. Da jeder Vektor x=(xi,j)i,j[?]V,i[?]j{\displaystyle x=(x_{{i,j}})_i,j\in V,i\neq j} mit Eintragen aus null und 1, der alle diese Ungleichungen erfullt, eine gultige Rundreise definiert, ergibt sich als reformuliertes Problem des Handlungsreisenden: Finde Da die Variablen xi,j{\displaystyle x_{{i , j}} } nur die Werte null oder eins annehmen, zahlt die Summe genau die Langen ci,j{\displaystyle c_{{i, j}} } der Kanten i,j{\displaystyle {i , j}} zusammen, die in der Tour enthalten sind. Die Zahl der Ungleichungen vom Typ (2) wachst exponentiell mit der Anzahl der Stadte, da fast jede der 2V\displaystyle 2^V Teilmengen von Knoten eine Ungleichung definiert. Dieses Problem kann aber mit Hilfe von Schnittebenenverfahren umgangen werden, bei denen diese Ungleichungen erst dann hinzugefugt werden, wenn sie tatsachlich gebraucht werden. Geometrisch lasst sich jede lineare Gleichung als Hyperebene im Raum der Variablen interpretieren. Die Menge der zulassigen Losungen bildet in diesem Raum ein Polytop, also ein mehrdimensionales Vieleck, dessen genaue Gestalt von den Kosten ci,j{\displaystyle c_{{i, j}}} abhangt und meist unbekannt ist. Man kann aber zeigen, dass die meisten der Bedingungen (1) und (2) Facetten des TSP-Polytops definieren, also Seitenflachen des Polytops mit hochstmoglicher Dimension. Damit gehoren sie zu den starksten linearen Ungleichungen, die es zur Beschreibung einer Tour geben kann. Es gibt noch viele weitere Facetten, deren zugehorige Ungleichungen allerdings nur in wenigen Fallen bekannt sind. Obwohl (1) und (2) zusammen mit der Beschrankung auf 0/1-Vektoren das Problem vollstandig modellieren, konnen solche zusatzlichen Ungleichungen innerhalb eines Branch-and-Cut-Verfahrens zur Formulierung hinzugefugt werden, um bestimmte LP-Losungen mit nicht-ganzzahligen Koordinaten auszuschliessen (siehe Abschnitt Exakte Losungsverfahren). Da dem Handlungsreisenden in jedem Schritt die Stadte zur Auswahl stehen, die er noch nicht besucht hat, gibt es (n-1)!{\displaystyle (n-1)! } mogliche Touren fur ein asymmetrisches und (n-1)!/2\displaystyle (n-1)!/2 Touren fur ein symmetrisches TSP (mit n>2{\displaystyle n>2 }) . Die Grosse des Suchraums hangt also uberexponentiell von der Anzahl der Stadte ab. Das Problem des Handlungsreisenden ist sowohl fur den allgemeinen als auch fur den symmetrischen oder metrischen Fall NP-aquivalent. Unter der allgemein vermuteten, bisher aber unbewiesenen Annahme, dass die Komplexitatsklassen P und NP verschieden sind (siehe P-NP-Problem), folgt daraus, dass keine deterministische Turingmaschine existiert, die das Problem fur jede Instanz in polynomialer Laufzeit bezuglich der Anzahl der Stadte lost. Ferner ist bekannt, dass es unter der Annahme P[?]\displaystyle \neq NP fur das allgemeine Problem des Handlungsreisenden keinen Polynomialzeitalgorithmus geben kann, der fur irgendein Polynom p\displaystyle p grundsatzlich eine Losung berechnet, deren Wert hochstens um einen Faktor 2p(n){\displaystyle 2^{p (n) }} vom Optimalwert abweicht. Allerdings lassen sich fur das metrische TSP Approximationsalgorithmen angeben, die in polynomieller Laufzeit eine Losung liefern, die hochstens doppelt (Minimum-Spanning-Tree-Ansatz) bzw. hochstens 1,5-mal (Algorithmus von Christofides) so lang wie die optimale Losung ist (siehe unten). Bisher ist kein Polynomialzeitalgorithmus mit einer besseren Gutegarantie als 1,5 bekannt. Fur die Beschrankung auf die Distanzen eins und zwei ist ein Polynomialzeitalgorithmus mit Gutegarantie 8/7 bekannt.[3] Unter der Annahme P[?]\displaystyle \neq NP gibt es eine (unbekannte) Konstante c>=1122[?]0,0081\displaystyle c\geq \tfrac 1122\approx 0,0081, so dass kein Polynomialzeitalgorithmus fur das metrische TSP existieren kann, der die Gute 1+c\displaystyle 1+c garantiert, wie Karpinski, Lampis und Schmied 2013 gezeigt haben.[4] Die entsprechende bestbekannte Konstante c\displaystyle c fur das Graph-TSP ist 1534\displaystyle \tfrac 1534.[5] Unabhangig voneinander gaben Arora (1996) und Mitchell (1996) ein polynomielles Approximationsschema (PTAS) fur das euklidische TSP an.[6][7] Die bekannten Losungsverfahren unterteilen sich in zwei Gruppen, die miteinander kombiniert werden konnen. Exakte Losungsverfahren finden - beliebig lange Laufzeit vorausgesetzt - grundsatzlich eine beweisbare Optimallosung. Heuristische Verfahren finden oft in kurzer Zeit gute Losungen, die aber im allgemeinen Fall beliebig schlecht sein konnen. Fur das metrische TSP gibt es polynomialeHeuristiken, deren Losungen grundsatzlich hochstens um den Faktor 1,5 bzw. 2 langer sind als eine kurzeste Rundreise. Das Problem des Handlungsreisenden kann exakt gelost werden, indem man die Weglangen aller moglichen Rundreisen berechnet und dann eine mit der kleinsten Weglange auswahlt. Das ist aber schon bei einer kleinen Zahl von Stadten nicht mehr praktisch durchfuhrbar. Bei der einfachsten Variante, dem symmetrischen TSP mit n\displaystyle n Stadten, gibt es (n-1)!/2\displaystyle (n-1)!/2 verschiedene Rundreisen, das sind bei fünfzehn Stadten uber dreiundvierzig Milliarden und bei achtzehn Stadten bereits uber 177 Billionen. Wie schnell die Rechenzeit mit wachsender Anzahl von Stadten wachst, zeigt das folgende Beispiel: Hat man einen Rechner, der die Losung fur dreißig Stadte in einer Stunde berechnet, dann braucht dieser fur zwei zusatzliche Stadte annahernd die tausendfache Zeit; das sind mehr als 40 Tage. TSP auf drei Knoten : Die rot gestrichelte Schnittebenex1+x2+x3>=2\displaystyle x_1+x_2+x_3\geq 2 schneidet alle unzulassigen Losungen mit hochstens einer Kante ab. Alle Punkte im roten Polytop erfullen diese Ungleichung, unter anderem der einzige zulassige Punkt (1,1,1). Mit Methoden der ganzzahligen linearen Optimierung, insbesondere Branch-and-Cut, lassen sich dagegen Instanzen in praktisch relevanten Grossenordnungen beweisbar optimal losen oder zumindest die Gute einer gefundenen Tour im Vergleich zu einer Optimallosung abschatzen. Geometrisch interpretiert betrachten diese Verfahren das Problem als konvexesPolytop, also als mehrdimensionales Vieleck im m\displaystyle m-dimensionalen Einheitswurfel[0,1]m\displaystyle [0,1]^m, wobei m\displaystyle m die Anzahl der Kanten des Graphen ist. Jede Ecke dieses Einheitswurfels beschreibt eine Tour, sofern der zugehorige 0/1-Vektor die oben beschriebenen linearen Ungleichungen erfullt. Die zu diesen Ungleichungen gehorenden Hyperebenen schneiden daher Ecken des Einheitswurfels ab, die keine Tour darstellen. Das nebenstehende Bild illustriert dies fur das (sehr einfache) TSP mit drei Knoten. Entsprechend den drei moglichen Kanten zwischen diesen Knoten gibt es auch drei binare Variablen x1,x2\displaystyle x_1,\,x_2 und x3\displaystyle x_3. Es gibt in diesem Fall nur eine mogliche Tour, namlich diejenige, die alle drei Kanten benutzt. Diese Tour erfullt die Ungleichung x1+x2+x3>=2\displaystyle x_1+x_2+x_3\geq 2, die besagt, dass jede Tour mindestens zwei Kanten haben muss. Ausser dieser Tour, die dem Punkt (1,1,1) entspricht, erfullen auch alle Punkte im rot eingegrenzten Bereich diese Ungleichung. Die zugehorige Schnittebene, die durch die rot gestrichelten Linien aufgespannt wird, schneidet also alle Ecken ab, die unmoglichen Touren mit hochstens einer Kante entsprechen, namlich den Nullvektor (0,0,0) und die Einheitsvektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1). Die starkere Ungleichung x1+x2+x3>=3\displaystyle x_1+x_2+x_3\geq 3 wurde vom Einheitswurfel alles ausser dem einzigen zulassigen Punkt (1,1,1) abschneiden. In diesem speziellen Fall lasst sich derselbe Effekt auch schon durch die drei Ungleichungen vom Typ (1) erzielen. Durch Losen vieler linearer Programme, Abschneiden nicht benotigter Teile des Einheitswurfels mit Hilfe weiterer Schnittebenen (zum Beispiel vom Typ (2) oder auch Kamm-, Cliquenbaum- und Domino-Parity-Ungleichungen[8]) sowie durch Aufteilung in mehrere Teilpolytope mit Hilfe von Branch-and-Bound wird versucht, eine zulassige 0/1-Ecke mit minimalem Zielfunktionswert zu bestimmen. Eine genauere Beschreibung dieser Verfahren ist im Artikel Ganzzahlige lineare Optimierung zu finden. Die alleinige Anwendung dieser Verfahren reicht meist nicht aus, um schnell gute Rundreisen zu finden. Ihr Hauptvorteil liegt darin, dass sie Angaben liefern, wie lang eine kurzeste Tour mindestens sein muss. Mit einer solchen unteren Schranke fur den optimalen Losungswert lasst sich abschatzen, wie gut eine gefundene Tour im Vergleich zu einer optimalen Rundreise ist, ohne diese zu kennen. Hat man beispielsweise eine untere Schranke von einhundert und eine Tour der Lange einhundertzwei gefunden, kann eine optimale Tour nur zwischen einhundert und einhundertzwei liegen. Die sogenannte Optimalitatslucke, also der maximale relative Abstand zwischen der optimalen Tourlange und der kurzesten bekannten Tourlange, betragt daher (102-100)/100 = zwei %, d. h; der gefundene Losungswert einhundertzwei ist hochstens zwei % vom Optimalwert entfernt. Wenn die Lange einer gefundenen Tour genauso gross ist wie die untere Schranke, ist damit bewiesen, dass die gefundene Losung optimal ist. Um gute Touren zu finden, konnen diese exakten Verfahren mit Heuristiken kombiniert werden, von denen einige im nachfolgenden Abschnitt beschrieben werden. Um schnell zu brauchbaren Losungen zu kommen, sind meist durch Heuristiken motivierte Naherungsverfahren notwendig, die aber in der Regel keine Guteabschatzung fur die gefundenen Losungen liefern. Je nachdem, ob eine Heuristik eine neue Tour konstruiert oder ob sie versucht, eine bestehende Rundreise zu verbessern, wird sie als Eroffnungs- (auch Konstruktions-) oder Verbesserungsverfahren bezeichnet. Daruber hinaus gibt es Dualheuristiken, die Mindestlangen fur eine Tour berechnen. Metaheuristiken konnen mehrere dieser Einzelheuristiken unterschiedlich kombinieren. Eine Ubersicht uber die meisten der hier vorgestellten Heuristiken ist im Abschnitt Ubersicht zu finden. Dem intuitiven Vorgehen eines Handlungsreisenden entspricht wohl am ehesten die Nearest-Neighbor-Heuristik(nachster Nachbar). Von einer Stadt ausgehend wahlt diese jeweils die nachstgelegene als folgenden Ort aus. Dieses wird sukzessive fortgesetzt, bis alle Stadte bereist wurden und der Handlungsreisende zum Ausgangsort zuruckgekehrt ist. Die hiermit verwandte Farthest-Neighbor-Heuristik besucht in jedem Schritt die am entferntesten gelegene Stadt. In jeder Stadt muss also der kurzeste bzw. weiteste ausgehende Weg gesucht werden. Maximal kann es pro Stadt nur so viele ausgehende Kanten geben, wie Knoten im Graphen vorhanden sind. Daraus ergibt sich eine algorithmische Komplexitat von O(n2), die Anzahl der Rechenschritte hangt also quadratisch von der Zahl der Stadte ab. Dass diese Heuristik im Allgemeinen jedoch nicht die beste Losung liefert, liegt daran, dass die Distanz zwischen der Ausgangsstadt und der letzten besuchten Stadt bis zuletzt nicht berucksichtigt wird. Die Nearest- und die Farthest-Neighbor-Heuristik konnen beliebig schlechte Ergebnisse liefern, das heisst, es gibt keinen konstanten, instanzunabhangigen Approximationsfaktor fur den Losungswert im Vergleich zum Optimalwert. Eine ganze Klasse weiterer Eroffnungsverfahren bilden die sogenannten Einfuge-Heuristiken. Die einfachsten Varianten davon sind die Nearest-Insertion-Heuristik(nachste Einfugung) und die Farthest-Insertion-Heuristik(entfernteste Einfugung). Gegeben seien (wenige) einander benachbarte Stadte, fur die sich durch exakte Verfahren schnell eine optimale Rundreise ermitteln lasst. Nun wird schrittweise uberpruft, welche noch nicht besuchte Stadt am nachsten (beziehungsweise am entferntesten) zu einer der Verbindungslinien der bisherigen Rundreise liegt. Ist diese Stadt gefunden, so wird sie zwischen den ihr am nachsten liegenden Stadten in die Tour eingebaut. Das Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis die Rundreise alle Stadte umfasst. Auch die Losungen dieser Heuristik konnen im Vergleich zu einer Optimallosung beliebig schlecht sein. Eine andere Klasse von Heuristiken unterteilt die Knotenmenge in einzelne Partitionen (zum Beispiel nach geographischen Kriterien), die jeweils teiloptimiert werden. Anschliessend werden die Teillosungen zu einer Gesamtlosung kombiniert. Diese ist in der Regel nur lokal optimal und kann gegenuber dem globalen Optimum beliebig schlecht sein. Die Minimum-Spanning-Tree-Heuristik(MST) berechnet zunachst einen minimal aufspannenden Baum, also einen Graphen, in dem alle Punkte miteinander verbunden sind und der minimale Lange besitzt. Davon ausgehend wird eine Tour konstruiert, indem zunachst alle Baumkanten verdoppelt werden und danach eine,,Eulertour" in dem entstandenen eulerschen Graphen gesucht wird. Diese wird zuletzt durch direkte Kanten abgekurzt, falls Knoten doppelt besucht werden. Sofern der minimale aufspannende Baum mittels des Verfahrens von Kruskal berechnet wird, liefert die MST-Heuristik dasselbe Ergebnis wie die Nearest-Insertion-Heuristik. Im Vergleich zu einer Optimallosung kann das Ergebnis beliebig schlecht sein. Im Falle eines metrischen TSP kann man jedoch zeigen, dass die so konstruierte Tour hochstens doppelt so lang ist wie eine kurzeste Tour. Eine noch bessere Approximationsgute fur metrische TSP wird durch die Christofides-Heuristik erreicht. Mit ihr kann eine Rundreise berechnet werden, die hochstens eineinhalb mal so lang wie eine optimale ist. Hierbei wird statt der Verdopplung der Kanten in der MST-Heuristik eine kleinste perfekte Paarung auf den Knoten ungeraden Grades im minimal aufspannenden Baum berechnet, um einen eulerschen Graphen zu erzeugen. Dieser Algorithmus ist jedoch aufwandiger. Verbessernde Optimierungsverfahren, auch Post-Optimization-Verfahren (Nach-Optimierung) versuchen, eine bestehende Tour durch kleine Modifikationen zu verkurzen. Fuhrt keine der betrachteten Anderungen mehr zu einer Verbesserung, so ist ein lokales Optimum gefunden (aber nicht notwendigerweise ein globales). Die k-Opt-Heuristiken verfolgen diesen Ansatz, indem sie systematisch Gruppen von k\displaystyle k Kanten aus der Tour entfernen und durch k\displaystyle k andere Kanten ersetzen, so dass wieder eine Tour entsteht. Da eine vollstandige Durchfuhrung dieses Verfahrens einer Aufzahlung aller moglichen Touren entsprechen wurde, ist k\displaystyle k in praktischen Implementierungen ublicherweise hochstens fünf Dabei werden oft alle Austauschmoglichkeiten von zwei und drei Kanten durchprobiert, wahrend Kantenaustausche von mehr als drei Kanten wegen des Rechenaufwandes nur noch sehr sparsam eingesetzt werden. Die Gute einer k-Opt-Heuristik in der Praxis hangt stark von der Auswahl der auszutauschenden Kanten und des Parameters k\displaystyle k ab, fur die es verschiedene heuristische Kriterien gibt. Eine bekannte k-Opt-basierte Heuristik ist die Lin-Kernighan-Heuristik, die eintausendneunhundertdreiundsiebzig von S. Lin und B.W. Kernighan entwickelt wurde und in der Implementierung von Keld Helsgaun[9] unter anderem an der optimalen Losung des TSP durch vierundzwanzig Komma neun sieben acht schwedische Orte im Jahre zweitausendvier beteiligt war. Sie basiert darauf, erst alle Austauschmoglichkeiten von zwei Kanten durchzutesten, dann solche mit drei Kanten usw., bis eins von mehreren moglichen Abbruchkriterien erfullt ist. Metaheuristiken kombinieren lokale und globale Suchverfahren in einer abstrakten Strategie fur die heuristische Optimierung eines Problems. Viele dieser Verfahren basieren auf lokaler Suche, d. h. sie berechnen eine heuristische Startlosung (beispielsweise mit der Nearest-Neighbor-Heuristik) und verbessern diese so lange durch ein lokales Suchverfahren, wie zum Beispiel K-Opt-Heuristiken, bis keine bessere Tour mehr gefunden wird. Durch verschiedene Strategien, wie beispielsweise Tabu-Suche oder Simulierte Abkuhlung, kann versucht werden, das Steckenbleiben in lokalen Minima weitestgehend zu verhindern. Andere Ansatze, wie Ameisenalgorithmen, genetische Algorithmen oder kunstliche neuronale Netze (dort vor allem das Hopfield-Netz), haben naturliche Prozesse als Vorbild. Prinzipiell konnen all diese Verfahren gute Losungen berechnen, aber auch beliebig schlecht im Vergleich zu einer Optimallosung sein. Ihre Qualitat und Laufzeit hangen wesentlich von der Definition und Implementierung der einzelnen Schritte ab. Das Problem des Handlungsreisenden ist eines der wenigen kombinatorischen Optimierungsprobleme, bei dem sich auf einfache Weise brauchbare untere Schranken fur die minimale Lange einer Tour (allgemein: die minimalen Kosten einer Losung) angeben lassen. Diese Schranken sind insbesondere wichtig, um Aussagen uber die Gute einer zulassigen Tour zu treffen. Da beispielsweise jede Tour, also insbesondere auch eine optimale, genau n\displaystyle n Kanten enthalt, muss sie mindestens so lang sein wie die Summe der n\displaystyle n kleinsten Kantenlangen. Eine andere untere Schranke ergibt sich aus der Beobachtung, dass beim Loschen einer beliebigen Kante aus einer Tour ein aufspannender Baum entsteht, also ein Teilgraph, der alle Knoten, aber keine Kreise enthalt. Die Tour ist mindestens so lang wie dieser Baum und damit per Definition auch mindestens so lang wie ein minimal aufspannender Baum (also ein aufspannender Baum mit minimaler Summe der Kantenlangen), der sich leicht bestimmen lasst. Da dies fur jede Tour gilt, liefert die Lange eines minimal aufspannenden Baums eine untere Schranke fur die Lange einer optimalen Tour. Etwas allgemeiner kann man auch einen sogenannten minimalen 1-Baum berechnen. Dies ist ein minimal aufspannender Baum zwischen den Knoten zwei bis n\displaystyle n (bei beliebiger Nummerierung), der uber die zwei kurzestmoglichen Kanten an den Knoten mit der Nummer eins angebunden wird (daher der Name). Auch dessen Lange liefert eine untere Schranke. Weiterhin ist jede Tour auch ein perfektes 2-Matching. Das bedeutet also, dass eine kurzeste Tour mindestens so lang sein muss, wie der Wert eines minimalen perfekten 2-Matchings, das sich in O(n3) berechnen lasst. In der folgenden Ubersichtstabelle sind fur die meisten hier vorgestellten Heuristiken der Typ des Verfahrens, die maximale Laufzeit bei n\displaystyle n Stadten sowie evtl. Gutegarantien fur die berechneten Losungen aufgefuhrt. Da die Laufzeit und Qualitat von Metaheuristiken stark von der Wahl der Teilalgorithmen abhangig sind und sich nicht allgemein angeben lassen, sind sie hier nicht aufgefuhrt. Die grosste nicht-triviale Instanz eines (symmetrischen) Rundreiseproblems, die bisher nachweisbar optimal gelost wurde, ist ein Planungsproblem fur das Layout integrierter Schaltkreise mit dreiunddreißig Komma acht eins Knoten. Dieser Rekord wurde im Jahre zweitausendfünf von William Cook und anderen mit Hilfe einer Kombination aus verschiedenen Heuristiken und dem Branch-and-Cut-basierten Programm Concorde aufgestellt, wobei fruhere Teilergebnisse verschiedener universitarer Arbeitsgruppen als Grundlage verwendet wurden.[8 ] Die bis dahin grosste optimal geloste Instanz bestand aus vierundzwanzig Komma neun sieben acht schwedischen Stadten, gelost im Jahre zweitausendvier Mit Hilfe spezieller Dekompositionstechniken und dem Einsatz mehrerer paralleler Computer haben William Cook unter anderem Touren fur ein TSP auf uber 526 Millionen Sternen gefunden, deren Lange nachweislich hochstens 0,798 % vom Optimum abweicht. Aus der Tatsache, dass ein TSP einer bestimmten Grosse optimal gelost werden konnte, folgt jedoch nicht, dass jede Instanz dieser Grosse optimal gelost werden kann, da - wie bei den meisten kombinatorischen Optimierungsproblemen - die Schwierigkeit der Losung stark von den Eingabeparametern (in diesem Fall den Kantengewichten) abhangt. Ein kleineres Problem kann deutlich schwerer losbar sein; beispielsweise gibt es in der TSPLIB eine aufgrund ihrer vielen Symmetrien schwer optimal zu losende Instanz mit nur zweihundertfünfundzwanzig Stadten.[11] Bei TSPs, die aus praktischen Anwendungen entstehen, mussen oft noch weitere Nebenbedingungen, wie beispielsweise Zeitfenster, berucksichtigt werden. Daher sind in der Regel die grossten optimal losbaren Probleminstanzen solcher Varianten deutlich kleiner als beim klassischen Problem des Handlungsreisenden, so dass in der Praxis oft auf heuristische Ansatze zur Losung zuruckgegriffen wird. Kombinationen von heuristischen Verfahren mit LP-basierten Verfahren wie Branch-and-Cut werden vor allem im Forschungsumfeld eingesetzt, um mit Hilfe unterer Schranken fur die Tourlange die Qualitat von Losungen und Losungsverfahren beurteilen zu konnen. Die Vielzahl an kombinierbaren Varianten bilden zusammen die Familie der TSP - die alle als NP-schwer gelten. Einige der Verallgemeinerungen betrachten mehrere Handlungsreisende, wahrend sich andere Varianten durch grundlegend veranderte Optimierungskriterien oder durch zusatzliche Nebenbedingungen von der klassischen Version unterscheiden.

Artikel Video:    

Thematisch relevante Suchbegriffe bzw. Keywords:    

    Bewerte deinen Artikel:

    Text mit Freunden teilen:    via Facebook     via Twitter     via WhatsApp

    Wir entwickeln eine intelligente Sprachtechnologie-Software. Einsetzbar, um Klickrate auf über 12% zu erhöhen. Mehr erfahren? Mit Email anmelden!    


    Der Artikel Schreiber "Text Generator" schreibt Artikel und generiert dir kostenfreien Unique Text für dein Content Marketing, dein SEO oder Suchmaschinen Marketing - Kreatives Schreiben als Software Algorithmus!


    Du benutzt die erstellten Texte auf deine eigene Verantwortung! Wir übernehmen keine Haftung für die erstellten Textartikel!

    © 2018 - 2019 -